Question

（2013•辽宁二模）已知函数f（x）=-2sinxcosx+2cos²x+1
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y轴对称，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把给出的函数解析式降幂后化积，由f（x）-1=0求出在（0，π）内的两个根，则x₁+x₂的值可求；
（2）利用函数图象的平移变换得到平移后图象所对应的函数解析式，由平移后的函数图象关于y轴对称，说明平移后的图象对应的函数为偶函数，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．

解答：解：（1）由题设f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos(2x+

π

4

)+2．
∵f（x）-1=0，∴

2

cos(2x+

π

4

)+2=1，
∴cos(2x+

π

4

)=-

2

2

，
则2x+

π

4

=2kπ+

3

4

π或2x+

π

4

=2kπ+

5

4

π，k∈Z，
得x=kπ+

π

4

或x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵x∈（0，π），∴x1=

π

4

，x2=

π

2

，
∴x1+x2=

3

4

π；
（2）由函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为，
g（x）=

2

cos[2(x+m)+

π

4

]+2-2=

2

cos(2x+

π

4

+2m)．
要使y=g（x）的图象关于y轴对称，则函数g（x）为偶函数，
需使2m+

π

4

=kπ，k∈Z，
∴m=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，
∵m＞0，
∴当k=1时，m取最小值为

3π

8

．

点评：本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是中档题．