Question

已知直线l₁:mx+y-1-m=0(m∈R)和⊙C:x²+y²-2x=0.

(1)求直线l₁关于圆心C对称的直线l₂的方程;

(2)证明:不论m为何实数时,直线l₂总与圆C有交点.

Answer 1

(1)解：由x²+y²-2x=0 (x-1)²+y²=1.

∴圆心C的坐标为(1,0).

设l₁上任一点P(x₁,y₁)关于点C(1,0)的对称点为Q(x,y),

则

∴                                                               ①

又点P在直线l上,

∴mx₁+y₁-1-m=0.                                                          ②

①代入②得m(2-x)-y-1-m=0.

∴直线l₂的方程为mx+y+1-m=0.

(2)证明：由直线l₂的方程得m(x-1)+y+1=0,

∴x=1,y=-1时,不论m为何实数上式均成立.

∴l₂过定点A(1,-1).

又A在圆C上,故l₂总与圆C有交点.