Question

（1）已知命题p：2x²-3x+1≤0和命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）已知命题s：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内．命题t：函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数．若s∨t为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出命题p，q的等价形式，利用?p是?q的必要不充分条件，求出a的取值范围．
（2）求出命题s，t的等价形式，利用s∨t为真命题，求实数m的取值范围．

解答：解：（1）对于命题p：2x²-3x+1≤0，解得：

1

2

≤x≤1…（1分）
对于命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，解得：a≤x≤a+1…（3分）
由?p是?q的必要不充分条件，所以?q⇒?p且?p推不出?q．于是所以p推不出q且q⇒p．…（5分）
所以

a≤ 1 2 a+1≥1

．解得

a≤ 1 2 a≥0

，即：0≤a≤

1

2

所以实数a的取值范围是0≤a≤

1

2

．…（7分）
（2）对于命题s：方程x²+（m-3）x+m=0的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，
设g（x）=x²+（m-3）x+m，则：

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＜0 g(3)＞0

，即：

m＞0 1+m-3+m＜0 4+2m-6+m＜0 9+3m-9+m＞0

…（9分）
解得：0＜m＜

2

3

…（10分）
对于命题t：函数f（x）=ln（mx²-2x+1）的定义域为全体实数，
则有：

m＞0 △=4-4m＜0

…（12分）
解得：m＞1…（13分）
又s∨t为真命题，即s为真命题或t为真命题．
所以所求实数m的取值范围为0＜m＜

2

3

或m＞1．…（14分）

点评：本题主要考查复合命题的真假应用，以及充分条件和必要条件的判断，考查学生的综合能力．