Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞e²恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得k＜

f(x)

x-1

对k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞e²恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，
所以，a=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，
所以，k＜

f(x)

x-1

对任意x＞e²恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞e²恒成立．…（5分）
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

…（6分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞e²），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（e²，+∞）上单调递增…（8分）
所以h（x）＞h（e²）=e²-4＞0，可得g'（x）＞0
故函数g(x)=

x+xlnx

x-1

在（e²，+∞）上单调递增．
所以g(x)＞g(e2)=

3e2

e2-1

=3+

3

e2-1

∈(3，4)…（11分）
∴k≤g（e²）．
故整数k的最大值是3．…（12分）

点评：本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．