Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）是否无论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（2）求直线PA与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，由已知得BD⊥AC，BD⊥PC，从而BD⊥平面PAC，由此得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（2）由PC⊥面ABCD，知∠PAC即为直线PA与底面ABCD所成的角，由此能求出直线PA与底面ABCD所成角的正切值．

解答： 解：（1）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（1分）
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（6分）
（2）∵PC⊥面ABCD，
∴∠PAC即为直线PA与底面ABCD所成的角，（8分）
由四棱锥P-ABCD的三视图，知：
AB=1，PC=2，BC=1，
∴AC=

1+1

=

2

，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

2

=

2

，
∴直线PA与底面ABCD所成角的正切值为

2

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明及应用，考查线面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．