Question

已知函数f（x）=x²+mx+4，g（x）=x²+2x-2m．
（1）若方程f（x）=0与g（x）=0至少有一个有实根，求实数m的范围；
（2）若方程g（x）=0在区间（-∞，-2）与（-2，1）各有一个实根，求实数m的范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据判别式求出方程f（x）=0与g（x）=0都没有根的条件，即可求实数m的范围；
（2）若方程g（x）=0在区间（-∞，-2）与（-2，1）各有一个实根，根据一元二次函数根的分布即可求实数m的范围．

解答： 解：（1）若方程f（x）=0与g（x）=0都有实根，
则两个方程对应的判别式△＜0，
即

m2-16＜0 4-4(-2m)=4+8m＜0

，
即

-4＜m＜4 m＜- 1 2

，
解得-4＜m＜-

1

2

，
则若方程f（x）=0与g（x）=0至少有一个有实根，则m≥-

1

2

或m≤-4．
即实数m的范围是m≥-

1

2

或m≤-4；
（2）若方程g（x）=0在区间（-∞，-2）与（-2，1）各有一个实根，
则满足

g(-2)＜0 g(1)＞0

，即

4-4-2m=-2m＜0 1+2-2m=3-2m＞0

，
解得

m＞0 m＜ 3 2

，解得0＜m＜

3

2

即实数m的范围是（0，

3

2

）．

点评：本题主要考查一元二次方程和一元二次函数根的个数和分布问题，要求熟练掌握一元二次函数的图象和性质．