Question

已知函数f（x）=

9-6x+x2

+

x2+8x+16

．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）设函数g（x）=kx-3k，k∈R，若不等式f（x）≤g（x）的解集为空集，求k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,其他不等式的解法

专题：选作题,不等式的解法及应用

分析：（1）f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9，分类讨论，即可求f（x）≥f（4）的解集；
（2）不等式f（x）≤g（x）的解集为空集，即f（x）＞g（x），故f（x）=|x-3|+|x+4|的图象恒在g（x）=k（x-3）图象的上方，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）f(x)=

x2-6x+9

+

x2+8x+16

=

(x-3)2

+

(x+4)2

=|x-3|+|x+4|
∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9
∴

x≤-4 3-x-x-4≥9

①或

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

②或

x≥3 x-3+x+4≥9

③
解得不等式①：x≤-5；②：无解 ③：x≥4
∴f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤-5或x≥4}．          …（5分）
（2）f（x）＞g（x），即f（x）=|x-3|+|x+4|的图象恒在g（x）=k（x-3）图象的上方．
f(x)=|x-3|+|x+4|=

-2x-1，     x≤-4 7，   -4＜x＜3 2x+1，x≥3

，
g（x）=k（x-3）图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线作函数y=f（x），y=g（x）图象如图，其中k_PB=2，A（-4，7），∴k_PA=-1
由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴实数k的取值范围为-1＜k≤2．     …（10分）

点评：本题考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．