Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别为CC₁、B₁C₁、DD₁的中点，O为BF与B₁E的交点，
（1）求直线A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小，
（2）证明：BF⊥面A₁B₁EG．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD交AC于点O，连结A₁O，由正方体性质知AA₁⊥面ABCD，从而A₁A⊥BD，再由AC⊥BD，得∠BA₁O直线A₁B与平面A₁C₁CA所成角，由此能求出直线A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小．
（2）由已知条件得△BB₁F≌△B₁C₁E，从而∠C₁EB₁=BFB₁，由此结合已知条件能证明BF⊥面A₁B₁EG．

解答： （1）解：连结BD交AC于点O，
连结A₁O，由正方体性质知AA₁⊥面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，
在正方体ABCD中，AC⊥BD，
又AC∩AA₁=A，AC?平面ACC₁A₁，
即∠BA₁O直线A₁B与平面A₁C₁CA所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A1B=

2

，OB=

2

2

，∴∠BA₁O=30°．
∴直线A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小为30°．
（2）证明：∵BB₁=B₁C₁，B₁F=C₁E，BF=B₁E，
∴△BB₁F≌△B₁C₁E，
从而∠C₁EB₁=BFB₁，
在Rt△A₁C₁E中，∠C₁EB₁+∠C₁B₁E=90°，
∴∠BFB₁+∠C₁B₁E=90°，从而∠FOB₁=90°，
∴BF⊥B₁E，
∵B₁E∩GE=E，
∴BF⊥面A₁B₁EG．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．