Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，f'（1）=1-a=0，由此求出a=1．
（Ⅱ） 根据a≤0，a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

+lnx（a∈R），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

…（2分）
由题意f′（1）=1-a=0，
解得 a=1…（4分）
（Ⅱ） ①当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）≥0恒成立，
所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．…（6分）
②当a＞0时，∵x＞0，∴令f'（x）＞0，解得x＞a，
令f′（x）＜0，解得x＜a．
∴f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．…（8分）
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
在区间（a，+∞）上单调递增．…（9分）
（Ⅲ） f(x)＜x2?x2-

a

x

-lnx＞0，
∵x∈（1，+∞），∴a＜x³-xlnx．…（10分）
令h（x）=x³-xlnx，则k（x）=h'（x）=3x²-lnx-1，
k′(x)=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
∵x∈[1，+∞）时，k'（x）＞0，
∴k（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴k（x）＞k（1）=2…（12分）
∴h'（x）＞0，∴h（x）=x³-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=1，∴a≤1． …（14分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．