Question

已知f（x）=2sinx+1+a是一个奇函数．
（1）求a的值和f（x）的值域；
（2）设ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]是增函数，求ω的取值范围；
（3）设|θ|＜

π

2

，若对x取一切实数，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范围．（公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据奇函数的性质，先求出a的值，再求出值域，
（2）根据正弦函数的单调区间，即可求出，
（3）由题意，根据三角函数积化和差，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，得到cos（2θ）＞-

1

2

，继而求出范围．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx+1+a是一个奇函数．
∴f（0）=0，0=2sin0+1+a，
∴a=-1，
∴f（x）=2sinx，
∴f（x）的值域为[-2，2]．
（2）∵-

π

2

≤x≤

2π

3

，ω＞0
∴-

ωπ

2

≤ωx≤

2ωπ

3

，
∴

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2

解得0＜ω≤

3

4

故ω取值范围为（0，

3

4

]
（3）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x），
∴4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，
∴4-2（cos（2x）-cos（2θ））＞4sinx
∴4-2（1-2sin²x）+2cos（2θ）-4sinx＞0，
∴4sin²x-4sinx+1+1+2cos（2θ）＞0
∴（2sinx-1）²+1+2cos（2θ）＞0，
∵（2sinx-1）²≥0，所以前面式子要对任意x都成立，须1+2cos（2θ）＞0，
即：cos（2θ）＞-

1

2

，又|θ|＜

π

2

，
故-π＜2θ＜π
所以：-

2

3

π3＜2θ＜

2

3

π，
即：-

π

3

＜θ＜

π

3

，
故θ的取值范围（-

π

3

，

π

3

）．

点评：本题主要考查了三角函数的值域，单调性，以及奇函数的性质，属于中档题．