Question

已知函数f（x）=2|sinx|+3sinx，x∈[-π，π]
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数g（x）=f（x）-k；
①讨论函数g（x）的零点个数；
②若存在x∈[-

π

4

，

5π

6

]，使不等式g（x）≥k²+5成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,分段函数的应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据sinx的符号化简解析式，再由正弦函数的性质求出函数f（x）的值域；
（2）①根据（1）化简的解析式、正弦函数的图象作出f（x）的大致图象，由图得直线y=k与y=f（x）的图象交点个数以及对应k的取值范围；
②根据图象和x的范围求出f（x）的值域，再求出g（x）的最大值，将不等式恒成立问题转化为g(x)max≥k2+5，解关于k得不等式即可．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=2|sinx|+3sinx=

sinx，-π≤x≤0 5sinx，0＜x≤π

----------（3分）
当-π≤-x≤0时，f（x）∈[-1，0]；当0＜x≤π时，f（x）∈（0，5]，
所以f（x）的值域为f（x）∈[-1，5]；----------------------（6分）
（2）①由（1）得，f(x)=

sinx，-π≤x≤0 5sinx，0＜x≤π

，作出f（x）的大致图象如图所示：----（8分）
函数g（x）=f（x）-k零点个数，即方程f（x）-k=0或f（x）=k的实根个数，
也即直线y=k与y=f（x）的图象交点个数，
由图象可知，当k＜-1或k＞5时，函数没有零点；
当k=-1或k=5时，函数有一个零点；
当-1＜k＜0或0＜k＜5时，函数有两个零点；
当k=0时，函数有三个零点．--------（12分）
②由x∈[-

π

4

，

5π

6

]和图象得，f(x)∈[-

2

2

，5]，
故g（x）_max=5-k，
因为存在x∈[-

π

4

，

π

3

]，使不等式g（x）≥k²+5成立，
只需g(x)max=5-k≥k2+5，即k（k+1）≤0，
所以k的取值范围是[-1，0]------（16分）

点评：本题考查正弦函数的图象和性质的应用，分段函数值域，函数零点的转化，恒成立转化为求函数的最值问题，以及数形结合思想和转化思想．