Question

已知函数f（x）=ax-

3

2

x²的最大值不大于

1

6

，又当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f（x）≥

1

8

，求a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次函数的图象和性质，结合不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：f(x)=-

3

2

(x-

a

3

)2+

1

6

a2，f(x)max=

1

6

a2≤

1

6

，得-1≤a≤1，
对称轴x=

a

3

，当-1≤a＜

3

4

时，[

1

4

，

1

2

]是f（x）的递减区间，而f(x)≥

1

8

，
即f(x)min=f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

≥

1

8

，a≥1与-1≤a＜

3

4

矛盾，即不存在；
当

3

4

≤a≤1时，对称轴x=

a

3

，而

1

4

≤

a

3

≤

1

3

，且

1

3

＜

1 4 + 1 2

2

=

3

8

即f(x)min=f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

≥

1

8

，a≥1，而

3

4

≤a≤1，即a=1
∴a=1

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，结合二次函数的最值建立条件关系是解决本题的关键．