Question

已知f（x）定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x-2）．
（1）求x＜0时的函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f²（x）-f（x）+t=0的方程有6个不相等的实根，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，根据函数的奇偶性，结合当x≥0时，f（x）=x（x-2），可求出x＜0时函数的表达式
（2）利用换元法将方程转化为关于m的一元二次方程，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x（x-2）；
∴f（-x）=-x（-x-2），
∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
∴f（x）=-x（x+2），x＜0，
（2）作出函数f（x）的图象如图：
设m=f（x），则当m＞1或m＜-1时，方程有1个根，
当m=1或m=-1时，方程有2个根，
当-1＜m＜1时，方程有3个根，
则f²（x）-f（x）+t=0等价为m²-m+t=0，
要使f²（x）-f（x）+t=0的方程有6个不相等的实根，
则等价为方程m²-m+t=0有两个不同的根且-1＜m＜1，
设g（m）=m²-m+t，则函数的图象关于直线m=

1

2

对称，
则满足

△=1-4t＞0 g(1)=t＞0 g(-1)=2+t＞0

，
解得：0＜t＜

1

4

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．