Question

求证：（1）已知a，b，c＞0，求证：

a2b2+b2c2+c2a 2

a+b+c

≥abc
（2）对于任何实数a，b，三个数|a+b|，|a-b|，|1-a|中至少有一个不小于

1

2

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式的性质和不等式的基本性质即可得出；
（2）利用反证法即可得出．

解答： 证明：（1）∵b²+c²≥2bc，a²＞0，
∴a²（b²+c²）≥2a²bc．①
∵a²+c²≥2ac，b²＞0，
∴b²（a²+c²）≥2ab²c．②
∵b²+a²≥2ba，c²＞0，
∴c²（b²+a²）≥2abc²．③
①②③相加得  2（a²b²+b²c²+c²a²）≥2a²bc+2b²ac+2c²ab，
从而      a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是

1

a+b+c

＞0，
由不等式的基本性质得

a2b2+b2c2+c2a 2

a+b+c

≥abc．
（2）（反证法）若|a+b|＜

1

2

，|a-b|＜

1

2

，|1-a|＜

1

2

，
则-

1

2

＜a+b＜

1

2

，（1）
-

1

2

＜a-b＜

1

2

，（2）
-

1

2

＜1-a＜

1

2

，（3）
由（1）+（2）得-

1

2

＜a＜

1

2

，
由（3）得

1

2

＜a＜

3

2

，矛盾．

点评：本题考查了基本不等式的性质和不等式的基本性质、反证法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．