Question

已知二元一次不等式组

x+y≤4 y≥x x≥1

对应的平面区域为M
（1）若点P（x，y）是区域M内的任意一点，求目标函数Z=

y-1

x

的最大值；
（2）若点P（x，y）是区域M内的任意一点，求点P满足条件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）若点Q（x，y）是不等式组

1≤x≤2 0≤y≤2

表示的区域内的任意一点，求点Q落在区域M内的概率．

Answer 1

考点：几何概型

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）确定二元一次不等式组

x+y≤4 y≥x x≥1

对应的平面区域，目标函数Z=

y-1

x

的几何意义是区域内的点与（0，1）连线的斜率，即可求目标函数Z=

y-1

x

的最大值；
（2）区域的面积为

1

2

×(3-1)×1=1，点P满足条件（x-1）²+（y-1）²≤1落在区域内的面积为

1

8

π，则可求点P满足条件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）不等式组

1≤x≤2 0≤y≤2

落在区域内的面积为

1

2

×1×1=

1

2

，则可求点Q落在区域M内的概率．

解答： 解：（1）二元一次不等式组

x+y≤4 y≥x x≥1

对应的平面区域为M，如图所示，目标函数Z=

y-1

x

的几何意义是区域内的点与（0，1）连线的斜率，由图可知，点（1，3）处，目标函数Z=

y-1

x

的最大值为2；
（2）区域的面积为

1

2

×(3-1)×1=1，点P满足条件（x-1）²+（y-1）²≤1落在区域内的面积为

1

8

π，
∴点P满足条件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率为

1

16

π；
（3）不等式组

1≤x≤2 0≤y≤2

落在区域内的面积为

1

2

×1×1=

1

2

，
∴点Q落在区域M内的概率为

1

2

．

点评：本题考查概率的计算，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．