Question

已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）解：∵，其定义域为（0，+∞），∴．
∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）=0，即3-a²=0，∵a＞0，∴．
经检验，当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴．
（2）解：假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，当x∈[1，e]时，．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．
∵，且x∈[1，e]，a＞0，
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是增函数．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a²．
由1+a²≥e+1，得 a≥，又0＜a＜1，∴a 不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a.2a≥e+1，得 a≥，1≤a≤e，∴≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是减函数．∴．
由≥e+1，得 a≥，又a＞e，∴a＞e．
综上所述，存在正实数a的取值范围为 ．
分析：（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数a的值．
（2）问题等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，分类讨论，利用导数的符号
判断函数的单调性，由单调性求出函数f（x）的最小值及g（x）]的最大值，根据它们之间的关系求出
实数a的取值范围．
点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值．