Question

已知函数y=g（x）与f（x）=log_a^（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．
（1）写出y=g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）+m为奇函数，试确定实数m的值；
（3）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，进而可得M（x，y）关于原点的对称点为N的坐标，代入f（x）中进而求得x和y的关系式．
（2）跟函数F（x）为奇函数求得F（-x）=-F（x）代入解析式即可求得m的值．
（3）利用f（x）+g（x）≥n求得loga

1+x

1-x

≥n，设Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，只要Q（x）_min≥n即可，根据F(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函数进而求得函数的最小值，求得n的范围．

解答：解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，
则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）
N在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，
∴-y=log_a（-x+1）
（2）∵F（x）=log_a^（x+1）-log_a^（1-x）+m为奇函数．
∴F（-x）=-F（x）
∴log_a^（1-x）-log_a^（1+x）+m=-log_a^（1+x）+log_a^（1-x）-m
∴2m=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga1=0，∴m=0
（3）由f(x)+g(x)≥n得，loga

1+x

1-x

≥n
设Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，由题意知，只要Q（x）_min≥n即可
∵Q(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函数
∴n≤0

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．