Question

已知函数y=G（x）的图象过原点，其导函数为y=f（x），函数f（x）=3x²+2bx+c且满足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，对x∈[0，3]恒成立，求实数c的最小值．（2）设G（x）在x=t处取得极大值，记此极大值为g（t），求g（t）的值域．

Answer 1

分析：由题意知函数f（x）关于x=1对称，从而可得b=-3，可知f（x）=3x²-6x+c
（1）由f（x）≥0对x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²对x∈[0，3]恒成立．构造函数g（x）=-3x²+6x，求该函数在区间[0，3]上的最大值，即c≥g（x）_max，即可求得c的最小值；
（2）由题意可得，G（x）=x³-3x²+cx，且f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，所以g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，再对函数g（t）求导，利用导数求得函数的最值，即可得函数的值域．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴y=f（x）的对称轴为x=1，即-

b

3

=1，
∴b=-3，
∴f（x）=3x²-6x+c，
由f（x）≥0对x∈[0，3]恒成立，得c≥6x-3x²对x∈[0，3]恒成立，
设g（x）=-3x²+6x=-3（x²-2x），
∴g（x）_max=g（1）=-3×1²+6×1=3，
∴c≥3，
∴c的最小值为3．
（2）函数y=G（x）的图象过原点，其导函数为y=f（x）=3x²-6x+c，
∴G（x）=x³-3x²+cx，
∵G（x）在x=t处取得极大值，
∴f（t）=3t²-6t+c=0且t＜1，∴c=（6t-3t²）t，
∴g（t）=t³-3t²+ct=t³-3t²+（6t-3t²）t，
即g（t）=-2t³+3t²，t∈（-∞，1），
∴g'（t）=-6t²+6t，
令g'（t）=0，得t=0或t=1
当t＜0时，g'（t）＜0，
当t＞0时g'（t）＞0，
∴当t=0时，g（t）_极小=g（0）=0
故g（t）的值域为[0，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的解析式问题，涉及了二次函数的性质，同时考查了，同时考查了恒成立问题，解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值，有时采取数形结合会简化运算．属于中档题．