Question

设函数满足f（x）+f（-x）=0，且f（x）在[-2，2]是减函数，f（2）=-1，若函数f（x）≤t²+2ta+1对所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]时，则t的取值范围是________．

Answer 1

解：因为f（x）+f（-x）=0，所以f（x）为奇函数，
∵f（2）=-1，∴f（-2）=1．
∴f（x）的取值范围为[-1，1]．
∵函数f（x）≤t²+2ta+1对所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]
∴t²+2ta+1对要大于等于f（x） 的最大值即为t²+2ta+1≥1
∴t²+2ta≥0
令g（a）=2ta+t²，则，即
∴t≥2或t≤-2
∴t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，∞）
故答案为：（-∞，-2）∪（2，∞）
分析：根据f（x）+f（-x）=0，f（2）=-1，确定f（x）的取值范围；函数f（x）≤t²+2ta+1对所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]等价于t²+2ta+1≥1，即t²+2ta≥0，构建一次函数g（a）=2ta+t²，从而可建立不等式，进而可求t的取值范围．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查恒成立问题，解题的关键是转化为t²+2ta+1对要大于等于f（x） 的最大值，属于中档题．