Question

设函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=x³，给出下列四个命题．
①f（x）是以4为周期的周期函数；
②f（x）在[1，3]上解析式为f（x）=（2-x）³；
③f（x）图象的对称轴有x=±1；
④函数f（x）在R上无最大值．
其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：本题为判断命题真假问题，命题①考查了函数函数的周期性，把已知等式连续运用二次可解决；命题③先把f（x-2）=-f（x）写成f（x-2）=f（-x），再用x+1替换x可解决；命题②先求出函数f（x）在[-1，1]上的解析式，然后求曲线f（x）关于直线x=1的对称曲线方程．由①②③得出的函数f（x）的性质可知，f（x）在定义域R上的最小值为-1，最大值为1．

解答：解：由f（x-4）=f[（x-2）-2]=-f（x-2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确．
因为函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（x-2）=-f（x）=f（-x），取x=x+1，得f（x-1）=f（-x-1），所以x=-1是函数图象的一条对称轴，根据对称性知x=1也是函数图象的对称轴，故③正确．
因函数为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x³，所以当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，又函数图象关于直线x=1对称，设对称图象上的点为（x，y），再设（x，y）关于x=1的对称点为（x^′，y^′）
则x^′=2-x，y^′=y，把x^′=2-x，y^′=y，代入f（x）=x³得，f（x）=（2-x）³，故②正确．
由上面分析知函数f（x）在R上的最大值为1，故④不正确．
故答案为①②③

点评：函数的周期性和对称性结合在一起命题，是较为棘手的问题，灵活掌握抽象函数式的变形及对x的灵活替换是解答此类题的关键．