Question

已知函数f(x)=x³-3ax(a∈R).

(1)当a=1时,求f(x)的极小值.

(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.

Answer 1

【解析】(1)当a=1时,f′(x)=3x²-3,

令f′(x)=0,得x=-1或x=1.

当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,

当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,

所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,

所以f(x)的极小值是f(1)=-2.

(2)方法一:f′(x)=3x²-3a,直线x+y+m=0,

即y=-x-m.

依题意,切线斜率k=f′(x)=3x²-3a≠-1,

即3x²-3a+1=0无解.

所以Δ=0-4×3(-3a+1)<0,所以a<.

方法二:f′(x)=3x²-3a≥-3a,

要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1<-3a时成立,所以a<.