Question

2．定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（-x）=e^x+$\frac{2}{ex}$-9，h（-2）=h（0）=1且h（-3）=-2．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）对于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=-x得到g（-x）+2g（x）=2e^x+$\frac{1}{ex}$-9，与g（x）+2g（-x）=e^x+$\frac{2}{ex}$-9构成方程组，解得即可求出g（x），h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，带值计算即可；
（2）构造函数设φ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=g（x）-xg（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，转化为，当-1≤x≤1时，φ（x）_min≥F（x）_max．利用导数求出最值即可．

解答 解：（1）∵g（x）+2g（-x）=e^x+$\frac{2}{ex}$-9，①
∴g（-x）+2g（x）=e^-x+$\frac{2}{e-x}$-9，即g（-x）+2g（x）=2e^x+$\frac{1}{ex}$-9，②
由①②联立解得，g（x）=e^x-3．
∵h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1，
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1，
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．
（2）设φ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，
F（x）=g（x）-xg（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依题意知，当-1≤x≤1时，φ（x）_min≥F（x）_max．
∵F′（x）=-e^x+（1-x）e^x+3=-xe^x+3，在[-1，1]上单调递减，
∴F′（x）_min=F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[-1，1]上单调递增，∴F（x）_max=F（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{φ（-1）=7-a≥0}\\{φ（1）=a+3≥0}\end{array}\right.$解得-3≤a≤7，
∴实数a的取值范围为[-3，7]．

点评 本题考查了函数解析式的求法，和导数和函数的最值问题，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．