Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N^*），b1=

2

3

．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件根据等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式；由3S_n=S_n-1+2（n≥2），得到3S_n-1=S_n-2+2（n≥3），两式相减推导出{b_n}是等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）由（1）知cn=an•bn=

2(3n-1)

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₅=14，a₇=20，∴

a1+4d=14 a1+6d=20

，解得

a1=2 d=3

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1．（2分）
∵3S_n=S_n-1+2（n≥2）①，
∴3S_n-1=S_n-2+2（n≥3）②，
由①-②得3b_n=b_n-1（n≥3），
∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥3)，（4分）
由b1=

2

3

，3S_n=S_n-1+2（n≥2）得3（b₁+b₂）=b₁+2，
∴b2=

2

9

，∴

b2

b1

=

1

3

，（5分）
∴{b_n}是等比数列，公比是

1

3

，∴bn=

2

3n

．（6分）
（2）由（1）知cn=an•bn=

2(3n-1)

3n

，
∴Tn=2(2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-4)

1

3n-1

+(3n-1)

1

3n

)，

1

3

Tn=2(2•

1

32

+5•

1

33

+8•

1

34

+…+(3n-4)

1

3n

+(3n-1)

1

3n

)，（8分）
∴

2

3

Tn=2(2•

1

3

+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-(3n-1)

1

3n+1

)
=2(

2

3

+

1 3 (1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

-(3n-1)

1

3n+1

)
=2(

7

6

-

1

2

1

3n-1

-(3n-1)

1

3n+1

)
=

7

3

-

6n+7

3n+1

，
∴Tn=

7

2

-

6n+1

2-3n

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．