Question

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）-1≥a(1-

1

x

)．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求导后求得f′（e）的值，再求出f（e）的值，由直线方程的点斜式求得切线方程；
（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（x）-1-a(1-

1

x

)，利用导数求得该函数的最小值，由最小值大于等于0证得答案．

解答： （Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=2lnx+1，
f′(x)=

2

x

，f（e）=3，k=f′(e)=

2

e

．
∴函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y-3=

2

e

(x-e)，
即2x-ey+e=0；
（Ⅱ）证明：令g(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)(x＞0)，
则g′(x)=

a

x

-

a

x2

=

a(x-1)

x2

，由g′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，
因此g（x）≥g（1）=0，即f(x)-1≥a(1-

1

x

)．

点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，训练了函数构造法，是中档题．