Question

11．已知log₃（x+y+4）＞log₃（3x+y-2），若x-y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（　　）

• A． （-∞，10]
• B． （-∞，10）
• C． （10，+∞）
• D． [10，+∞）

Answer 1

分析 要使不等式成立，则有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，设z=x-y，则y=x-z．作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分（不包括左右边界），通过平移直线（目标函数）利用线性规划的有关知识即可得出．

解答 解：要使不等式成立，则有$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x+y+4＞3x+y-2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+4＞0\\ 3x+y-2＞0\\ x＜3\end{array}\right.$，
设z=x-y，则y=x-z．作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分（不包括左右边界）：
平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y+4=0\\ x=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}y=-7\\ x=3\end{array}\right.$，代入z=x-y得z=x-y=3+7=10，
又因为可行域不包括点B，∴z＜10，
∴要使x-y＜λ恒成立，则λ的取值范围是λ≥10，即[10，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了对数函数的单调性、线性规划的有关知识、不等式的性质，考查了数形结合思想方法、计算能力，属于中档题．