Question

16．已知各项均不相等的等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设各项均不相等的等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），再分n为偶数和奇数，运用裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设各项均不相等的等差数列{a_n}的公差为d，满足a₁=1，
且a₁，a₂，a₅成等比数列，
可得a₂²=a₁a₅，即（1+d）²=1+4d，
解得d=2（0舍去），
则a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）；
（2）b_n=（-1）ⁿ$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$
=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
当n为偶数时，前n项和S_n=（-1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（-$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=-1+$\frac{1}{2n+1}$=-$\frac{2n}{2n+1}$；
当n为奇数时，n-1为偶数，前n项和S_n=S_n-1+（-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=-$\frac{2（n-1）}{2n-1}$+（-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{2n+2}{2n+1}$．
则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2n}{2n+1}，n为偶数}\\{-\frac{2n+2}{2n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和，注意运用分类讨论和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．