Question

16．已知函数f（x）=ax²+（x-1）e^x．
（1）当a=-$\frac{e+1}{2}$时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{e+1}{2}$时，求出f′（x）=-（e+1）x+xe^x，利用导数的几何意义能出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a），由此根据a≥0，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，a=-$\frac{1}{2}$，a＜-$\frac{1}{2}$，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．
（3）推导出x₁=ln（-2a）为极大值点，x₂=0为极小值点，所有极值的和即为f（x₁）+f（x₂），f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1，由此利用导性质能求出所有极值的和的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）当a=$\frac{e+1}{2}$时，f（x）=$\frac{e+1}{2}$x²+（x-1）e^x，
∴f（1）=$\frac{e+1}{2}$，
f′（x）=-（e+1）x+xe^x，∴f′（1）=-1
切线方程为：y+$\frac{e+1}{2}$=-（x-1），
即：2x+2y+e-1=0．…（4分）
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a）
①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
②当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-2a））上单调递增，
在（ln（-2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
③当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
④当a＜-$\frac{1}{2}$ 时，f（x）在（-∞，0））上单调递增，
在（0，ln（-2a））上单调递减，在（ln（-2a），+∞）上单调递增．…（8分）
（3）由（2）知，当-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0时，
f（x）在（-∞，ln（-2a））上单调递增，在（ln（-2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x₁=ln（-2a）为极大值点，x₂=0为极小值点，所有极值的和即为f（x₁）+f（x₂），
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1
∵x₁=ln（-2a），∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$（-$\frac{1}{2}$x₁²+x₁-1）-1
∵-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$，∴$\frac{1}{e}$＜-2a＜1，∴-1＜x₁=ln（-2a）＜0，
令ϕ（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²+x-1）-1（-1＜x＜0）
∴ϕ′（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²）＜0∴ϕ（x）在（-1，0）单调递减
∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（-1）
即-2＜ϕ（x）＜-$\frac{5}{2e}$-1
∴所有极值的和的取值范围为（-2，-$\frac{5}{2e}-1$）．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．