Question

6．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由题意可知：设A（$\frac{c}{2}$，y），代入椭圆方程，求得y，由等比三角形的性质可知：丨y丨=$\sqrt{3}$•$\frac{c}{2}$，由离心率的公式及离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦点在x轴上，设A（$\frac{c}{2}$，y），
将x=$\frac{c}{2}$代入椭圆方程$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$．
∵△OFP为等边三角形，则tan∠AOF=$\frac{y}{\frac{c}{2}}$
∴$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-{c}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{3}$×$\frac{c}{2}$．
化为：e⁴-8e²+4=0，0＜e＜1．
解得：e²=4-2$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，解得：e=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．