Question

18．如图，已知矩形ABCD与直角梯形ABFE所在的平面互相垂直，G是BF的中点，∠AEF=∠BFE=90°，且AD=AE=EF=$\frac{1}{2}$FB=1．
（1）求证：BF⊥平面AGD；
（2）求锐二面角B-CF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）连接AF，证明AEFG为正方形，推出AF⊥AB，得到AG⊥BF，通过AD⊥AB，证明AD⊥平面ABFE，推出AD⊥BF然后证明BF⊥平面AGD；
（Ⅱ） 以AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面FDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面FBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（I）连接AF，由∠AEF=∠BFE=90°，AE=EF=$\frac{1}{2}FB=FG$知，AEFG为正方形
∴∠FGA=45°，AG⊥BF，且AG=GB，∴∠BAG=45°，∴∠FAB=90°，∴AF⊥AB，
因为面ABEF⊥面ABCD，所以BF⊥平面ABCD----------（3分）
由上知AG⊥BF，
又因为ABCD为矩形，所以AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABFE，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AD⊥AD⊥平面ABFE，∴AD⊥BF
又AG∩AD=A    故BF⊥平面AGD；-------------（7分）
（Ⅱ） 以AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，1，0），D（0，1，0），F（0，0，$\sqrt{2}$）
记面FDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），记面FBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，1）
同理求得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$----------------------（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．