Question

7．已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：
①函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{4}$对称；
②函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上单调递增；
③函数f（x）的最小正周期为π；
④函数f（x）的值域为[-2，2]．
其中真命题的序号是②④．（将你认为真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，由于f（-$\frac{3π}{4}$）=-2，f（$\frac{5π}{4}$）=0，∴f（-$\frac{3π}{4}$）≠f（$\frac{5π}{4}$），
故f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，故排除①．
在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 单调递增，故②正确．
函数f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，f（$\frac{4π}{3}$）=0，∴f（$\frac{π}{3}$）≠f（$\frac{4π}{3}$），故函数f（x）的最小正周期不是π，故③错误．
当cosx≥0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为-2；
当cosx＜0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=-2sinxcosx+sin2x=0，
综合可得，函数f（x）的最大值为2，最小值为-2，故④正确，
故答案为：②④．

点评 本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于基础题．