Question

12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x²+mx-a²+b²+c²=0的两根．
（1）求角A的大小；
（2）已知a=$\sqrt{3}$，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知化简可得：b²+c²=a²+bc，利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（$\frac{2π}{3}$-θ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由0＜θ＜$\frac{2π}{3}$，可得范围-$\frac{π}{6}$＜2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，利用正弦函数的图象可求最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=-a²+b²+c²，可得：b²+c²=a²+bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）由a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$及正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$，
∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}$-B）=2sin（$\frac{2π}{3}$-θ），
∴y=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$sinθsin（$\frac{2π}{3}$-θ）=$\sqrt{3}$sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{3}{4}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由于0＜θ＜$\frac{2π}{3}$，可得：-$\frac{π}{6}$＜2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴当2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，y_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．