Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{AC}$=（1，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2），则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的最小值为-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c-2，d+2），求得$\overrightarrow{AB}$=（c-a，d-b），$\overrightarrow{CD}$=（c-a-3，d-b），代入$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$，展开后利用配方法求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的最小值．

解答 解：设A（a，b），B（c，d），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2），
∴C（a+1，b+2），D（c-2，d+2），
则$\overrightarrow{AB}$=（c-a，d-b），$\overrightarrow{CD}$=（c-a-3，d-b），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（c-a）（c-a-3）+（b-d）²
=（c-a）²-3（c-a）+（b-d）²=$（c-a-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{4}+（b-d）^{2}≥-\frac{9}{4}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的最小值为-$\frac{9}{4}$．
故答案为：-$\frac{9}{4}$

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，训练了利用配方法求最值，是中档题．