Question

7．若正方体A₁A₂A₃A₄-B₁B₂B₃B₄的棱长为1，则集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 $\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．

解答 解：∵正方体A₁A₂A₃A₄-B₁B₂B₃B₄的棱长为1，
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$，i，j∈{1，2，3，4}，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•（$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$）
=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{1}}$+${\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$=1．
∴集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是集合中元素个数的求法，向量数量积的应用，难度不大，属于中档题．