Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+3（x≤-1）}\\{f（x-1）+1（x＞-1）}\end{array}\right.$方程f（x）=x+1的解从小到大排成一个数列{a_n}，该数列的前n项的和为S_n，则$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{28}{3}$
• B． $\frac{19}{2}$
• C． 6
• D． 2$\sqrt{10}$+3

Answer 1

分析 x≤-1时，y=3x+3与y=x+1的交点为（-1，0），可得a₁=-1．x∈（-1，0]时，f（x）=f（x-1）+1=3（x-1）+3+1=3x+1，由3x+1=x+1，解得x=0，可得a₂=0．同理可得：a₃=1．…，可得数列{a_n}为等差数列，首项为-1，公差为1，可得a_n．代入即可得出．

解答 解：x≤-1时，y=3x+3与y=x+1的交点为（-1，0），可得a₁=-1．
x∈（-1，0]时，f（x）=f（x-1）+1=3（x-1）+3+1=3x+1，由3x+1=x+1，解得x=0，∴a₂=0．
x∈（0，1]时，f（x）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=3（x-2）+3+2=3x-1，由3x-1=x+1，解得x=1，∴a₃=1．
∴x＞-1时，假设x∈（n-3，n-2]时，x-（n-1）∈（-2，-1]，∴3[x-（n-1）]+3+（n-1）=x+1，解得x=n-2．
∴数列{a_n}为等差数列，首项为-1，公差为1，
a_n=-1+（n-1）=n-2，
S_n=$\frac{n（-1+n-2）}{2}$=$\frac{n（n-3）}{2}$，
则$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$=$\frac{（n+3）n+10}{n}$=n+$\frac{10}{n}$+3≥3+$\frac{10}{3}$+3=$\frac{28}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、方差的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．