Question

18．已知$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2\\ 3x-y-6≤0\\ 2x-3y+3≥0\end{array}\right.$，且z=x²+y²，则z的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． 18
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，分析z=x²+y²表示的几何意义，结合图象即可给出z=x²+y²的最小值．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2\\ 3x-y-6≤0\\ 2x-3y+3≥0\end{array}\right.$，对应的平面区域如下图示：
三角形顶点坐标分别为（3，3）、（0，1）和（2，0），
z=x²+y²表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）距离的平方，
由图可知|OP|²为z=x²+y²的最小值，此时z=x²+y²=$（\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}）^{2}$=$\frac{4}{5}$．
故选：D．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．