Question

13．如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P-ABC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
取AC中点O，连接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．