Question

4．（文）设F是双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦点，$P（\frac{a^2}{c}，\frac{{\sqrt{2}a}}{2}）$为直线上一点，直线垂直于x轴，垂足为M，若△PMF等腰三角形，则E的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：P在双曲线的准线上，由△PMF等腰三角形，c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，由b²=c²-a²，即可求得题意的离心率．

解答 解：由题意可知：直线与双曲线的准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由△PMF等腰三角形，
则c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，整理得：b²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ac，两边平方可知：b⁴=$\frac{1}{2}$a²c²，
由b²=c²-a²，2c⁴-5a²c²+2a⁴=0
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，则2e⁴-5e²+2=0，解得：e²=2或e²=$\frac{1}{2}$，
由e＞1，则e=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．