Question

16．椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$的左顶点为A，右焦点为F，点P在椭圆上，且位于第一象限，当△PAF是直角三角形时，S_△PAF=（　　）

• A． $\frac{{25\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{20}{3}$
• B． $\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{50}{3}$
• C． $\frac{25\sqrt{3}}{4}$或$\frac{10}{3}$
• D． $\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆方程，当PA⊥PF，根据向量数量积的坐标运算求得P点坐标，利用三角形的面积公式即可求得三角形的面积，当PF⊥AF，则P（4，y），代入椭圆方程求得y，即可求得S_△PAF．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$焦点在x轴上，a=6，b=2$\sqrt{5}$，c=4，则A（-6，0），F（4，0），
设点P的坐标是（x，y），y＞0，
当PA⊥PF，如图1，
则$\overrightarrow{AP}$=（x+6，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-4，y），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，（x+6）（x-4）+y²=0，
由y²=20（1-$\frac{{x}^{2}}{36}$），
整理得：2x²+9x-18=0，解得：x=$\frac{3}{2}$或x=-6，
由y＞0，则x=$\frac{3}{2}$，则y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△PAF=$\frac{1}{2}$×丨AF丨×y=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{2}$，
当PF⊥AF，如图2．
则P（4，y），y＞0，
y²=20（1-$\frac{{x}^{2}}{36}$）=$\frac{100}{9}$，y=$\frac{10}{3}$，
S_△PAF=$\frac{1}{2}$×丨AF丨×y=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{10}{3}$=$\frac{50}{3}$，
∴△PAF面积$\frac{25\sqrt{3}}{2}$或$\frac{50}{3}$．
故选B．

如图1，

如图2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．