Question

11．四边形ABCD的四个顶点都在抛物线y=x²上，A，C关于y轴对称，BD平行于抛物一在点C处的切线．
（1）证明：AC平分∠BAD；
（2）若点A坐标为（-1，1），四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₀，x₀²），B（x₁，x₁²），C（-x₀，x₀²），D（x₂，x₂²）．对y=x²求导，得y′=2x，利用斜率相等推出x₁+x₂=-2x₀，记直线AB，AD的斜率分别为k₁，k₂，推出∠CAB=∠CAD，即AC平分∠BAD．（Ⅱ）由题设，x₀=-1，x₁+x₂=2，k=2．四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$|AC|•|${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$|，化简求解直线BD的方程为y=2x．

解答 解：（Ⅰ）证明：设A（x₀，x₀²），B（x₁，x₁²），C（-x₀，x₀²），D（x₂，x₂²）．
对y=x²求导，得y′=2x，则抛物线在点C处的切线斜率为-2x₀．
直线BD的斜率k=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=x₁+x₂，
依题意，有x₁+x₂=-2x₀．…（4分）
记直线AB，AD的斜率分别为k₁，k₂，与BD的斜率求法同理，得
k₁+k₂=（x₀+x₁）+（x₀+x₂）=2x₀+（x₁+x₂）=0，
所以∠CAB=∠CAD，即AC平分∠BAD．…（6分）
（Ⅱ）由题设，x₀=-1，x₁+x₂=2，k=2．四边形ABCD的面积
S=$\frac{1}{2}$|AC|•|${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$|=$\frac{1}{2}$|AC|•|x₂+x₁|•|x₂-x₁|
=$\frac{1}{2}$×2×2×|2-2x₁|=4|1-x₁|，…（10分）
由已知，4|1-x₁|=4，得x₁=0，或x₁=2．
所以点B和D的坐标为（0，0）和（2，4），
故直线BD的方程为y=2x．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．