Question

6．已知等差数列{a_n}中，a₂=6，a₅=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设{a_n}的首项为a₁，公差为d，则由a₂=6，a₅=12，得3d=a₅-a₂=6，解得d=2．
∴a₁=a₂-d=6-2=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+2．
（Ⅱ）依题意有${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{4}{（2n+2）•[2（n+1）+2]}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2n+4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．