Question

16．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．

解答 解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，
则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．
设这个正四面体的棱长为2，
在△ABD中，AF=$\sqrt{3}$=CE=CF，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴cos∠CEM=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．