Question

2．定义域为R的函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当a∈[0，l]时，f（x）=x，且对任意x∈R只都有f（x+2）=-f（x），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）（x≥0）\\-{log_{2013}}（-x）（x＜0）\end{array}\right.$，则方程g（x）-g（-x）=0实数根的个数为（　　）

• A． 1006
• B． 1007
• C． 2012
• D． 2014

Answer 1

分析 由于函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），可得函数在[0，+∞）上以4为周期，令-log₂₀₁₃（-x）=-1，则x=-2013，即可得出结论．

解答 解：由于函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），可得函数在[0，+∞）上以4为周期，
令-log₂₀₁₃（-x）=-1，则x=-2013，
令g（x）-g（-x）=0则g（x）=g（-x），
∴方程g（x）-g（-x）=0实数根的个数为2012，
故选C．

点评 本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的对称性、周期性及运用，属于中档题．