Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=-3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d₁，d₂分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d₁=d₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的性质可知：c=2，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2b，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得直线MN的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式可知求得MN的中点T，由k_OT=k_OP，由三角形全等的判定和性质可知：d₁=d₂．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，2c=4，c=2，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2b，
由a²=b²+c²，解得a²=6，b²=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，椭圆C的长轴长为$2\sqrt{6}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点F的坐标为（-2，0），设点P的坐标为（-3，m），
则直线PF的斜率${k_{PF}}=\frac{m-0}{-3-（-2）}=-m$，
当m≠0时，直线MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直线MN的方程是x=my-2，
当m=0时，直线MN的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，
得$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判别式△=16m²+8（m²+3）＞0，
所以${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^3}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$，${x_1}+{x_2}=m（{y_1}+{y_2}）-4=\frac{-12}{{{m^2}+3}}$，
设T为线段MN的中点，则点T的坐标为$（\frac{-6}{{{m^2}+3}}，\frac{2m}{{{m^2}+3}}）$，
所以直线OT的斜率${k_{OT}}=-\frac{m}{3}$，
又直线OP的斜率${k_{OP}}=-\frac{m}{3}$，
所以点T在直线OP上，
由三角形全等的判定和性质可知：d₁=d₂．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．