Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$若方程f（x）-a=0有唯一解，则实数a的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x-1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，
即方程f（x）-a=0有唯一解，．
故答案为（1，+∞）．

点评 考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想．