Question

8．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF₁，若$|PQ|=\frac{5}{12}|P{F_1}|$，则双曲线离心率e为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{37}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{37}}}{5}$

Answer 1

分析 由PQ⊥PF₁，|PQ|与|PF₁|的关系，可得|QF₁|于|PF₁|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF₁|-|PF₂|=|QF₁|-|QF₂|，解得|PF₁|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．

解答 解：可设P，Q为双曲线右支上一点，
由PQ⊥PF₁，|PQ|=$\frac{5}{12}$|PF₁|，
在直角三角形PF₁Q中，|QF₁|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|{PQ|}^{2}}$=$\frac{13}{12}$|PF₁|，
由双曲线的定义可得：2a=|PF₁|-|PF₂|=|QF₁|-|QF₂|，
由|PQ|=$\frac{5}{12}$|PF₁|，即有|PF₂|+|QF₂|=$\frac{5}{12}$|PF₁|，
即为|PF₁|-2a+$\frac{13}{12}$|PF₁|-2a=$\frac{5}{12}$|PF₁|，
∴（1-$\frac{5}{12}$+$\frac{13}{12}$）|PF₁|=4a，
解得|PF₁|=$\frac{12a}{5}$．
|PF₂|=|PF₁|-2a=$\frac{2a}{5}$，
由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{（\frac{12a}{5}）^{2}+（\frac{2a}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{37}}{5}a$，
可得e=$\frac{\sqrt{37}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．