Question

17．AB是圆C：x²+（y-1）²=1的直径，P是椭圆E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围是[-1，$\frac{13}{3}$]．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}，\overrightarrow{CA}•C\overrightarrow{B}=-1$
得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=${\overrightarrow{PC}}^{2}-1$=x²+（y-1）²-1=x²+y²-2y=-3y²-2y+4
 再结合y的范围即可求出结论

解答 解：设P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}，\overrightarrow{CA}•C\overrightarrow{B}=-1$
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}）$=${\overrightarrow{PC}}^{2}+\overrightarrow{PC}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=${\overrightarrow{PC}}^{2}-1$=x²+（y-1）²-1=x²+y²-2y=-3y²-2y+4
∵y∈[-1，1]，∴-3y²-2y+4$∈[-1，\frac{13}{3}]$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围是：[-1，$\frac{13}{3}$]．
故答案为：[-1，$\frac{13}{3}$]

点评 本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题，