Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{a+1}{2}{x^2}+ax-1$，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$，其中a≥1．
（Ⅰ）f（x）在（0，2）上的值域为（s，t），求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥3，对于区间[2，3]上的任意两个不相等的实数x₁、x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=a，由题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）不妨设2≤x₁＜x₂≤3，由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），分类讨论，构造函数，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=a，…（1分）
依题意函数f（x）在区间（0，2）无最值，
知f（x）在（0，2）上要么有两个极值点或者没有极值点，
知1≤a＜2，…（3分）$f（1）=\frac{1}{3}-\frac{a+1}{2}+a-1=\frac{a}{2}-\frac{7}{6}$，$f（a）=\frac{1}{3}{a^3}-\frac{a+1}{2}{a^2}+{a^2}-1$，f（0）=-1，$f（2）=\frac{8}{3}-2（a+1）+2a-1=-\frac{1}{3}$，
（i）若a=1，函数f（x）在区间（0，2）上恒单调递增，显然符合题意；…（4分）
（ii）若1＜a＜2时，有$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）＜f（2）}\\{f（a）＞f（0）}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}-\frac{7}{6}＜-\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}{a^3}-\frac{a+1}{2}{a^2}+{a^2}-1＞-1}\end{array}}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{a＜\frac{5}{3}}\\{a＜3}\end{array}}\right.$，
得$1＜a＜\frac{5}{3}$；
综上有$1≤a＜\frac{5}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）不妨设2≤x₁＜x₂≤3，
由（Ⅰ）知：当a≥3时，f（x）在区间[2，3]上恒单调递减，
有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），…（7分）
（i）若3≤a≤4时，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$在区间[2，3]上恒单调递减，|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₁）-g（x₂），
则|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价于f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
令函数F（x）=f（x）-g（x），
由F（x₁）＞F（x₂）知F（x）在区间[2，3]上单调递减，F′（x）=x²-（a+1）x+a-（a-4）x=x²-（2a-3）x+a，
当a≥3时，x²-（2a-3）x+a≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2^2}-2×（2a-3）+a≤0\\{3^2}-3×（2a-3）+a≤0\end{array}\right.$，求得$\frac{18}{5}≤a≤4$；…（10分）
（ii）若a＞4时，$g（x）=\frac{1}{2}（a-4）{x^2}$单调递增，|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₂）-g（x₁），
则|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等价于f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
令函数G（x）=f（x）+g（x），
由G（x₁）＞G（x₂）知G（x）在区间[2，3]上单调递减，
有G′（x）=x²-（a+1）x+a+（a-4）x=x²-5x+a≤0，
故当2≤x≤3时，x²-5x+a≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}4-10+a≤0\\ 9-15+a≤0\end{array}\right.$，求得4＜a≤6，
由（i）（ii）得$\frac{18}{5}≤a≤6$．  …（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．