Question

14．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：

休假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

根据表中信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，求这两人休年假次数之和为4的概率；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）从该单位50名职工任选两名职工，基本事件总数n=${C}_{50}^{2}$，这两人休年假次数之和为4包含的基本事件个数m=${C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}$，由此能求出这两人休年假次数之和为4的概率．
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）∵从该单位50名职工任选两名职工，基本事件总数n=${C}_{50}^{2}$，
这两人休年假次数之和为4包含的基本事件个数m=${C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}$，
∴这两人休年假次数之和为4的概率：
p=$\frac{m}{n}=\frac{{C}_{20}^{2}+{C}_{10}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{68}{245}$．
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是$P（ξ=0）=\frac{{C_5^2+C_{10}^2+C_{20}^2+C_{15}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{2}{7}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_5^1C_{10}^1+C_{10}^1C_{20}^2+C_{15}^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{22}{49}$，
$P（ξ=2）=\frac{{C_5^2C_{20}^1+C_{10}^1C_{15}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{10}{49}$，
$P（ξ=3）=\frac{{C_5^1C_{15}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{3}{49}$．
从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{22}{49}$	$\frac{10}{49}$	$\frac{3}{49}$

ξ的数学期望：$Eξ=0×\frac{2}{7}+1×\frac{22}{49}+2×\frac{10}{49}+3×\frac{3}{49}=\frac{51}{49}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．