Question

20．已知圆C：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y=0相交于A，B两点．
（1）求过A，B两点且圆心在直线2x+y=2上的圆C的方程；
（2）设P，Q是圆C上两点，且满足|OP|•|OQ|=1，求坐标原点到直线PQ的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可设过两圆交点A、B的圆系方程为：x²+y²-4x+2y+λ（x²+y²-2y）=0，求出圆心，代入直线2x+y=2，求出λ，即可求出圆C的方程；
（2）设直线PQ的方程为y=kx+λ，与圆的方程联立，利用|OP|•|OQ|=1，结合韦达定理，即可求坐标原点到直线PQ的距离．

解答 解：（1）由题意可设过两圆交点A、B的圆系方程为：x²+y²-4x+2y+λ（x²+y²-2y）=0，
它的圆心为$（\frac{2}{1+λ}，\frac{1-λ}{1+λ}）$，代入直线2x+y-2=0得λ=1，
所以，圆C的方程为：（x-1）²+y²=1
（2）依题意知直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程为y=kx+λ，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=1}\\{y=kx+λ}\end{array}}\right.$得（1+k²）x²+2（kλ-1）x+λ²=0
所以${x_1}{x_2}=\frac{λ^2}{{1+{k^2}}}$①
|OP|•|OQ|=1$⇒（{x_1}^2+{y_1}^2）（{x_2}^2+{y_2}^2）=1$
因为${（{x_1}-1）^2}+{y_1}^2=1$，${（{x_2}-1）^2}+{y_2}^2=1$
所以$[{x_1}^2+1-{（{x_1}-1）^2}][{x_2}^2+1-{（{x_2}-1）^2}]=1$
所以${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}$②
由①②可得，$\frac{λ^2}{{1+{k^2}}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{|λ|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$
所以，原点到直线PQ的距离$d=\frac{|λ|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．