Question

（2011•福建模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=

1

2

CD=1．
现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析：（1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可证明AM∥平面BEC；
（2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE；
（3）利用V_E-BCD=V_D-BCE，求出底面DCB的面积，高DE，即可求三棱锥D-BCE的体积．

解答：解：（1）证明：取EC中点N，M是EC的中点，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．         （3分）
所以四边形ABNM为平行四边形．
所以BN∥AM．                              （4分）
又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．                          （4分）
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                （6分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

．
在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．                 （8分）
（3）由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD
所以S△BCD=

1

2

BD•BC=

1

2

•

2

•

2

=1，又因为ED⊥平面ABCD，DE=1
∴V_E-BCD=V_D-BCE=

1

3

S△BCD•DE=

1

3

•（12分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用．